Charakterystyki przepływowe i energetyczne wiatru – wzory

1. Przepływ strugi powietrza przez wirnik siłowni wiatrowej
Wirnik siłowni wiatrowej może dać moc tylko wówczas, gdy pobiera mocy od przepływającego przez ten wirnik powietrza. W sytuacji takiej dochodzi do zmniejszenia prędkości wiatru (z v do v2, patrz animacja), zmniejszenie prędkości następuje na skutek przejścia przez koło wiatrowe. Na skutek zmiany prędkości wiatru przed i za wirnikiem turbiny wiatrowej i zgodnie z zasadą zachowania ciągłości przepływu, przekrój strumienia powietrza musi być odpowiedni. Dlatego przekrój strumienia powietrza dopływającego do koła wiatrowego (A0) musi być odpowiednio mniejszy (prędkość v0 większa), natomiast za wirnikiem przekrój strumienia powietrza (A2) musi być odpowiednio większy (prędkość v2 mniejsza). W zjawisku tym znaczenie ma także zmiana ciśnienia powietrza w sąsiedztwie wirnika. Na skutek stopniowego zahamowania wiatru w pewnej odległości od wirnika występuje spiętrzenie ciśnienia powietrza (do wartości ciśnienia p1), z kolei zaraz za wirnikiem występuje zmniejszenie ciśnienia powietrza (do p2), które dopiero na pewnej odległości wyrównuje się z ciśnieniem otoczenia (p0).


Podczas rzeczywistej pracy turbiny wiatrowej w wyniku spiętrzenia ciśnienia część powietrza odpływa na zewnątrz wirnika, tej straty nie będziemy jednak uwzględniać. Przyjmujemy także, że zmiana prędkości wiatru następuje nagle w samym wirniku. W rzeczywistości zmiana prędkości wiatru jest przed wirnikiem jak i za nim w odpowiedniej odległości.
Nie znamy wartości prędkości v1, czyli prędkości z jaką powietrze przepływa przez powierzchnię wirnika. Wiemy natomiast, że prędkość ta musi mieć wartość pośrednią pomiędzy v0 i v2, przyjmujemy więc, że jest ona ich średnią arytmetyczną:

W każdym z przekrojów masa przepływającego powietrza m jest stała i wynosi:

gdzie: ρ – gęstość powietrza [kg/m3], t – czas [s], D – średnica zewnętrzna wirnika.

Gęstość powietrza ρ można łatwo wyznaczyć dla dowolnej wartości ciśnienia p [Pa] i temperatury powietrza temp [0C] wg następującego wzoru:

gdzie p0 [Pa] i temp0 [K] to ciśnienie i temperatura dla znanej gęstości ρ0[kg/m3].

Dla gęstości powietrza o wartości 1,2928 [kg/m3] temperatura powietrza i ciśnienie wynoszą odpowiednio 273,15 [K] i 101325 [Pa] wzór na gęstość dla dowolnej temperatury 0C] i ciśnienia powietrza [Pa] przyjmuje postać:

Energia kinetyczna strumienia powietrza dopływającego do wirnika z prędkością v0 wyraża się wzorem:

a odpływający za wirnik:

Gdy wirnik siłowni pobiera energię bez żadnych strat, to energia ta:

2. Teoretyczny współczynnik wykorzystania wiatru
Dzieląc energię wykorzystaną przez wiatrak ΔE przez energię wiatru EK0 otrzymamy teoretyczny współczynnik wykorzystania wiatru χt:

Ze wzoru na ΔE wiemy, że im większa jest różnica pomiędzy prędkościami v0 i v2, tym większa będzie energia przejmowana przez wiatrak, czyli lepszy współczynnik χt
Będzie tak wtedy, gdy prędkość v2 będzie większa od 0, bo powietrze musi przepływać przez wirnik siłowni by następował jego obrót i produkcja energii elektrycznej.
Umownie przyjęto, że stosunek prędkości v2/v0 powinien być równy jak 1 do 3
Do uzyskania największego współczynnika wykorzystania energii wiatru prędkość odlotowa powietrza za wirnikiem (v2) musi wynosić 1/3 dolotowej prędkości wiatru.

Wartość prędkości wiatru w samym kole wiatrowym (v1) określone jest równaniem:

Wszystkie prędkości charakterystyczne (v0, v1, v2) wiatru przy największym jego wykorzystaniu są powiązane stosunkiem: v0 : v1 : v2 = 3 : 2 : 1

Wartość teoretycznego współczynnika wykorzystania wiatru χt osiąga maksymalną wartość równą 0,593.

Mówi o tym prawo Betza.
W wyniku działania wiatru na łopaty wirnika powstaje moment obrotowy silnika wiatrowego.

3. Siła aerodynamiczna.
Siła aerodynamiczna Fa to siła wypadkowa siły oporu Fx i siły nośnej Fy. Zakładamy zgodnie z równaniem ciągłości strugi, że ilość powietrza napływającego na krawędź natarcia łopatki równa jest ilości powietrza spływającego z krawędzi spływu. Górna powierzchnia łopatki posiada krzywiznę większą niż dolna powierzchnia łopatki. Górna struga musi w tym samym czasie dłuższą drogę, dlatego jej prędkość jest większa niż dolnej. Zgodnie z prawem Bernoulliego wartość ciśnienia górnej strugi będzie mniejsze niż dolnej. To właśnie różnica ciśnień jest przyczyną powstawania siły nośnej. Siła nośna może także powstawać na łopatce o przekroju symetrycznym, jeśli łopatka jest ustawiona pod dodatnim kątem natarcia. Wówczas występuje niesymetryczny opływ strugi powietrza na górnej i dolnej powierzchni. Na górnej powierzchni prędkość powietrza będzie większa niż na dolnej. Powstanie więc różnica ciśnień, a w wyniku tego siła nośna.

Rozłóżmy siłę aerodynamiczną Fa na składową styczną do płaszczyzny obrotów wirnika Fobw oraz składową normalną Fos. Poprzez składową styczną następuje obrót natomiast przez składową normalną wywoływany jest nacisk osiowy przejmowany przez łożyska.

Prędkość obwodową łopatki u zapiszemy następującym wzorem:

gdzie n – prędkość obrotowa wyrażona w obr/min
Po uwzględnieniu prędkości obwodowej łopatki u – wynikającej z ruchu obrotowego wirnika otrzymujemy prędkość względną w strugi powietrza, która wyraża się równaniem:

W stosunku do cięciwy profilu prędkość ta tworzy z cięciwą profilu kąt natarcia α, a z płaszczyzną obrotu kąt napływu prędkości względnej β


Aby wyznaczyć siłę nośną Fy i siłę oporu Fx należy skorzystać ze wzorów poniżej:

gdzie w powyższych wzorach kolejno oznaczamy:
Cy – współczynnik aerodynamiczny siły nośnej Fy,
Cx – współczynnik aerodynamiczny siły oporu Fx,
ρ – gęstość powietrza wyrażona w kg/m3
A – powierzchnia wycinka łopaty o wymiarach sχ l wyrażona w m2

Dobór współczynników Cy i Cx dobiera się w oparciu o kąt natarcia α z charakterystyki profilu.

Między cięciwą profilu i siłą aerodynamiczną Fa są kąty proste, które występują również między prędkością względną w i siłą nośną Fy. Wynika stąd, że pomiędzy siłą Fa i osią wirnika jest kąt β-α. Zatem wzór na siłę wywierającą nacisk osiowy Fos wyprowadzimy następująco:










Po z rzutowaniu siły Fx i Fy na płaszczyznę obrotu otrzymamy z Fx siłę, która przeciwdziała obrotowi wirnika elektrowni wiatrowej Fham (siłę hamującą), a z Fy siłę napędzającą Fnap – działającą zgodnie z kierunkiem obrotu wirnika. Kąty proste występują pomiędzy siłami Fx i Fham, a pomiędzy Fy i osią obrotu jest kąt β
Z przytoczonych zależności oraz mając na uwadze, że sinβ=v/w, cosβ=u/w wyprowadzamy wzory na Fham i Fnap:

Siła obwodowa Fobw to różnica Fnap i Fham. Jest to siła, która powoduje obrót wirnika.

Źródło:
„Zależność między poziomem rozwoju energetyki odnawialnej a produkcją urządzeń dla wybranych OŹE w różnych krajach” Paweł Pociask

admin

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *